Сергей Яковлев:Черновики:Бета-теория скрытых параметров в квантовой механике

© Сергей Яковлев, 2009

Использование этой информации в коммерческих целях запрещенно. Но Вы можете копировать и перерабатывать данную статью в научных и образовательных целях, с последующим предоставлением результата на тех же правах. Для подробной информации см. Авторское право.

Основы[]

Если принять, что фотон - это не бесструктурная частица, а совокупность, например, двух микрочастиц, которые так же как и кварки нельзя получить в свободном состоянии, то становится возможным построить теорию скрытых параметров, которая не учтенна в формализме теоремы Белла. Тогда именно эту связь двух микрочастиц мы будем называть фотоном, а описываться одна будет не одним независимым скрытым параметром (как это учтенно в формализме теоремы Белла), а парой взаимосвязанных скрытых параметров, например находящихся в противофазе. Тогда становится возможным добится совпадения результатов с описанием квантовой механики, но такое описание будет уже полным, т.к. явно показывает какие параметры от нас скрыты и не учитываются в квантовой механике.

(Наивный) пример теории с дополнительными параметрами[]

HiddenParameter — Корреляционный коэффициент поляризации. Пунктирная линия – предсказание квантовой механики; сплошная линия – наивная модель

В качестве примера теории с дополнительным параметром рассмотрим модель, в которой каждый фотон, распространяющийся вдоль оси Oz, предполагается имеющим хорошо определенную линейную поляризацию, задаваемую своим углом (λ1 или λ2) с осью x. Чтобы учесть жесткую корреляцию, мы предположим, что два фотона одной и той же пары испускаются с одной и той же линейной поляризацией, определенной общим углом λ.

Поляризация различных пар распределена случайным образом, согласно распределению вероятностей ρ(λ), не зависящему от угла:

$\rho (\alpha) = \frac {1} {2 \pi}$

Для полноты нашей модели мы должны задать явную форму функций A(λ,a) и B(λ,b). Мы принимаем следующие выражения:

$A(\alpha, a) = sign \mathcal {f} cos 2 (\theta_I - \alpha) \mathcal {g}$

$B(\alpha, b) = sign \mathcal {f} cos 2 (\theta_{II} - \alpha) \mathcal {g}$

где углы $\theta_I$ и $\theta_{II}$ указывают ориентацию поляризаторов. Заметим, что эти выражения весьма оправданны: A(λ,a) принимает значение +1, когда поляризация фотона v1 характеризуется углом меньше π/4 относительно направления анализа a, и значение -1 для дополняющего случая (поляризация ближе к перпендикуляру относительно a).

Для этой понятной модели мы можем вычислить вероятности различных результатов измерений. Например, для одиночных вероятностей получаем:

$P_+(a) = P_-(a) = P_+(b) = P_-(c) = \frac {1} {2}$

т.е. результаты, идентичные тем, которые дает квантовая механика. Наша модель дает нам также возможность вычислить совместные вероятности и корреляционную функцию, и мы находим:

$E (a, b) = 1 - 4 \frac {\theta_I - \theta_{II}} {\pi} = 1 - 4 \frac {(a, b)} {\pi}$

при $- \frac {\pi} {2} \le \theta_I - \theta_{II} \le \frac {\pi} {2}$

Это замечательный результат. Заметим прежде всего, что E(a,b) зависит только от относительного угла (a,b), как и в соотношении квантовой механики для коэффициента корреляции $E (a, b) = cos 2 (a, b)$ . Более того, как показано на рис. 3, разница между предсказаниями простой модели с дополнительными параметрами и предсказаниями квантовой механики всюду небольшая, а для углов 0, ±π/4 и ±π/2 предсказания точно совпадают (жесткая корреляция). Такой результат, полученный при крайне простой модели с дополнительными параметрами, весьма вдохновляет и дает надежду, что более сложная модель способна дать точное совпадение с предсказаниями квантовой механики.

Бета-теория скрытых параметров[]

Предсказание Бета-теории[]

Построим по аналогии с наивной моделью предсказание Бета-теории по сравнению с квантовой теорией.

Предсказание Бета-теории. Синия линия согласно квантовой механики. Красная линия - наивная модель. Зеленая линия Бета-теория	Различия в предсказании Бета-теории и квантовой механики.

Корреляционная функция имеет точно такой же вид, как у наивной модели, единственно для удобства мы увеличим коэффициент:

$E (a, b) = 1 - 8 \frac {\theta_I - \theta_{II}} {\pi} = 1 - 8 \frac {(a, b)} {\pi}$

Разницу же составляет скрытый параметр $\alpha$ , который в этой теории не может принимать любые значения, а зависит от составной структуры фотона, и выражается определенной формулой.

Дискретность плотности вероятности Бета распределения[]

Плотность вероятности Бета-распределения:

$P (\mathrm{B}(\alpha,\beta)) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$

Дискретная формула: $P (\mathrm{B}(2, 5)) = \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2} * (1 - \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2})^4 \pm 27\;$ (с биноминальной точностью)

имеет более глубокий смысл, чем просто вероятностное значение. Данная видимая вероятность проявляется при наблюдении элементарных частиц, а точнее их составной природы в соответствии с Теорией пустоты.

Плотность вероятности Бета-распределения для B(2, 5). Синия линия оригинальное. Зеленая линия исходя из дискретной формулы $P (\mathrm{B}(2, 5)) = \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2} * (1 - \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2})^4$	Разница значений (погрешность) между оригинальной функцией плотности вероятности Бета-распределения и дискретной формулой $P (\mathrm{B}(2, 5)) = \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2} * (1 - \frac {(1 - x)^3} {(1-x)^2})^4$

Разница между оригинальным видом и найденной дискретным аналогом - есть биноминальное распределение, которая проявляется как погрешность при измерениях. То же самое наблюдается 4 раза для предсказаний Бета-теории по сравнению с квантовой механикой.

Маленький сдвиг влево или вправо (в зависимости от ориентации) центра при котором наблюдается максимум биноминального распределения, говорит о том, что это не само биноминальное распределение, а функция от него. Если за оригинальное биноминальное распределение взять вероятность распределения матриц размером nxn в зависимости от числа единиц в матрице, то искомая функция распределения со сдвигом центра - это будет распределения только особенных матриц размером nxn в зависимости от числа единиц в матрице.

Зависимость предсказания Бета-теории от дискретного вида плотности вероятности Бета-распределения[]

Выше было сказано, что скрытый параметр $\alpha$ не может принимать любые значения и выражается определенной формулой.

Точный вид данной формулы пока не найден. Но имеет прямую связь с плотностью вероятности бета-распределения.

Запишем нашу корреляционную функцию в виде:

$E(a, b) = 1 - 8 \alpha = 1 - 8 \beta \gamma$

Представив таким образом, скрытый параметр $\alpha$ в виде произведения двух углов $\beta$ и $\gamma$ .

Примем, что угол $\gamma$ - свободный и изменяется плавно от 0 до 1 (т.е. 360 градусов примем за единицу) с частотой дискритизации $\frac {1} {64} = 0,015625$ .

Угол же $\beta$ сцепленный и принимает только определенные значения, но тоже дискретные (с частотой дискритизации $\frac {1} {1024} = 0,0009765625$ ). На самом деле, это не угол в прямом смысле, а просто второй скрытый параметр, отвечающий за структуру частицы (фотона в рассматриваемом случае).

Тогда распределение параметра $\beta$ будет подчинятся определенному закону, который по общему виду близок к описанному выше дискретной плотности вероятности Бета-распределения (см. рисунок). Но по значениям видно, что нужно еще некое однородное преобразование (типа вращения).

Дискретная бета-функция в маштабе 1:1 и повернутая на 180 градусов, т.е. определяется формулой $P (\mathrm{B}(2, 5)) = \frac {x^3} {x^2} * (1 - \frac {x^3} {x^2})^4$	Распределение параметра $\beta$	Отличия распределения параметра $\beta$ от дискретной бета-функции

Видим, что вид функций совпадает, но значения по оси y больше более чем в 10 раз, а по оси x так же сдвинуты. Тот-же вид функции, показывающий отличия говорит о том, что нужно применить некое степенное преобразование.

Связанная задача - соударение частиц[]

© Александр Привалов, 2009

Использование этой информации в коммерческих целях запрещенно. Но Вы можете копировать и перерабатывать данную статью в научных и образовательных целях, с последующим предоставлением результата на тех же правах. Для подробной информации см. Авторское право.

Повторю условие задачи: В среде с плотностью частиц N (частиц на кв.метр) сколько частиц уарятся по телу в секунду, если скорость частиц V и площадь поверхности тела A?

Мой ответ: (1/4)*N*V*A

Примерно двадцать лет назад в задачнике Кванта давалась эта задача, и приводилась ваша формула в качестве ответа. Она очень резко не понравилась мне еще тогда. Формула с коэффициентом 1/6 получается, если мы введем упрощение - предположим, что все молекулы могут лететь лишь в трех взаимопенрепендикулярных направлениях. Я считал и по прежнему считаю это недопустимым логическим скачком. В данной задаче расхождение с правильным ответом невелико, но вообще такие упрощения могут очень и очень далеко завести.

Решение 1:

Тезис: Для маленького фрагмента тела площадью а (при а << А) абсолютно неважно, фрагментом тела какой формы он является. Количество частиц, падающих на него, будет неизменным. Единственное условие: поверхность тела везде должна быть выпуклой, а не вогнутой.

А потому мы можем подсчитать количество ударяющих частиц для любого тела, и отношение площади поверхности к количеству падающих частиц будет неизменным для тела любой формы.

Возьмем сферу. Ее площадь поверхности 4*pi*R^2 , однако, частицам, подлетающим с любого направления, будет "казаться" (площадь захвата будет равна) pi*R^2 . "Эффективная площадь" в четыре раза меньше реальной площади поверхности, а искомая формула частоты ударов частиц = (1/4)*N*V*A

Длина свободного пробега частицы никакого значения не имеет, так как и до, и после удара направление частиц абсолютно хаотическое.

Решение 2:

Рассмотрим малый участок поверхности "a". Если провести к нему все возможные векторы скорости частиц, способные ударить по этому участку, эти векторы образуют сферу.

Рассмотрим сегмент сферы BCD такой, что CD = 1 (просто для удобства рассчетов возьмем сегмент-"треугольник" единичной ширины). Этот "треугольник" полностью эквивалентен начальной сфере: для малого участка "a" нет никакой разницы, падают ли на него частицы со всей сферы или только с этого треугольного окошка (если общее количество частиц одинаковое): распределение частиц по углу удара (обозначенному x) будет тем же самым.

При x=pi/2 (или 90 градусов) эффективная площадь (площадь захвата) участка "а" будет росто равна его геометрической площади. При x=0 пролетающие частицы вообще не будут его задевать: эффективная площадь равна нулю.

Развернем лепесток BCD в плоскость и нарисуем его:

Форму лепестка задаёт уравнение y=cos(x) , где x - угол, показанный на предыдущем рисунке (dva_shara.png).

Однако, у этого лепестка есть еще и "эффективный лепесток" (показан синим). Определим его так: какой формы должно быть окошко, чтобы количество молекул, бющих по "а", было таким же, как в реальности, если бы участок "a" не лежал бы неподвижно в своей плоскости, а поворачивался бы всегда перпендикулярно удару.

Лепесток BCD с неподвижным обстреливаемым участком "а" эквивалентен синему лепестку с вечноповорачивающимся обстреливаемым участком "а" .

Формулу синего лепестка задаёт формула y=sin(x)*cos(x).

Как показано в интегральных уравнениях на русунке, площади синего и бежевого лепестков соотносятся как 1:2.

На данный момент мы доказали следующий тезис: возьмем сферу, которую делит пополам зафиксированный круг. Соотношение количества молекул, пролетающих сквозь сферу за единицу времени, к количеству молекул, пролетающих сквозь круг, равняется 2:1. (Уточнение для строгости утверждения: если каждая молекула, пролетевшая сквозь сферу, считается за один удар, хотя она коснулась поверхности сферы дважды. Молекула, влетевшая, но еще не вылетевшая из сферы, тоже считается за один удар. Молекула, влетевшая до начала измерений, и вылетевшая после него, не считается.).

По другому тот же тезис можно изложить так: возьмем малый участок "a", который обстреливают молекулы, летящие со случайных направлений. Он эквивалентен (количество столкновений будет равно) участку вдвое меньшей площади, коротый стоит перпендикулярно потоку (если частицы падают с обоих сторон, но все вектора скорости параллельны).

На участок закрытой поверхности молекулы падают только с одной стороны, поэтому эффективную площадь нужно еще раз разделись на два. Получим то же самое уравнение: частота ударов частиц равна

f = (1/4)*N*V*A