ФЭНДОМ


Классическая электродинамика
Solenoid

</div>

Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Уравнения в классическом виде

Уравнения в системе СИ

Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея $ \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t} $ $ \oint\limits_L\!\mathbf{E}\, d\mathbf{l} = -\int\limits_S\!{\partial \mathbf{B} \over \partial t}\, d\mathbf{S} $ Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера
(с добавкой от Максвелла)
$ \operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t} $ $ \oint\limits_L\!\mathbf{H}\, d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + \oint\limits_S\!{\partial \mathbf{D} \over \partial t}\, d\mathbf{S} $ Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса $ \operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho $ $ \oint\limits_S\!\mathbf{D}\, d\mathbf{S} = Q_{\mathrm{encl}} $ Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса $ \operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0 $ $ \oint\limits_S\!\mathbf{B}\, d\mathbf{S} = 0 $ Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины $ \mathbf{j} $, $ \mathbf{H} $, $ \mathbf{D} $, $ \mathbf{E} $ и $ \mathbf{B} $, в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

  • $ \mathrm{rot} \ $ — дифференциальный оператор ротора
  • $ \mathrm{div} \ $ — дифференциальный оператор дивергенции
  • $ S\ $ — замкнутая двумерная поверхность
  • $ L\ $ — замкнутый контур

Уравнения в Гауссовой системе единиц

$ \operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{D} \over \partial t} + \mathbf{4\pi \over {c}}\mathbf{j} $
$ \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = - \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{B} \over \partial t} $
$ \operatorname{div}\,\mathbf{D} = 4\pi\rho $
$ \operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0 $

Материальные уравнения

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины $ \mathbf{j} $, $ \mathbf{H} $, $ \mathbf{D} $, $ \mathbf{E} $, $ \mathbf {B} $ и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами $ \mathbf{j} $, $ \mathbf{H} $, $ \mathbf{D} $ с одной стороны и $ \mathbf{E} $, $ \mathbf{B} $ с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде:

$ \mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} $
$ \mathbf{B} = \mu\mathbf{H} $
$ \mathbf{j} = \sigma\mathbf{E} $

где $ \varepsilon \ $ — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), $ \mu \ $ — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и $ \sigma \ $ — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через $ \varepsilon_0 \ $ и $ \mu_0 \ $ (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} $
$ \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} $

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:

$ \operatorname{div}\, \mathbf{E} = 0 $
$ \operatorname{div}\, \mathbf{H} = 0 $
$ \operatorname{rot}\, \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t} $
$ \operatorname{rot}\, \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} $


Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. $

Максвелл обозначил эту величину $ c $. Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип
$ c \ $ Постоянная скорости света $ 2{,}99792458 \times 10^8 $ м/с LT−1
$ \ \varepsilon_0 $ Электрическая постоянная $ 8{,}85418782 \times 10^{-12} $ Ф / м L−3M−1T4
$ \ \mu_0 \ $ Магнитная постоянная $ 1{,}25663706 \times 10^{-6} $ Гн / м LMT−2I−2

Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС):

$ \partial_i F^{i k} = \frac{4\pi}{c} J^k \, $
$ \partial_i F_{k l} + \partial_k F_{l i} + \partial_l F_{i k} = 0 \, $,

где $ J^k=(c\rho,\; \mathbf{j}) $ — 4-ток, а $ \ F^{i k} $ — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

$ F^{i k} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) $


Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

В вакууме $ \varepsilon $ и $ \mu $ — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма $ \mathbf F $ в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи

$ d\mathbf{F}=0 $

где $ d $ — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников

$ d * {\mathbf{F}}=\mathbf{J} $,

где звезда Ходжа $ * $ — это дуальный оператор Ходжа линейного преобразования из пространства 2-формы в дуальное пространство $ 4-2=2 $ форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где $ 1/4\pi\varepsilon_0=1 $. 3-форма $ \mathbf J $ называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности

$ d{\mathbf{J}}=0 $.

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.

$ C:\Lambda^2\ni\mathbf{F}\mapsto \mathbf{G}\in\Lambda^{(4-2)} $

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с дуальным преобразованием Ходжа. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:

$ d\mathbf{F} = 0 $
$ d\mathbf{G} = \mathbf{J} $

где ток $ \mathbf J $ удовлетворяет уравнению непрерывности $ d\mathbf{J}=0 $. Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм $ \mathbf{\theta}^p $,

$ \mathbf{F} = F_{pq}\mathbf{\theta}^p\wedge\mathbf{\theta}^q $

для материальной среды

$ G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn} $

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда дуальное преобразование Ходжа примет следующий вид

$ C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \varepsilon_{abpq} \sqrt{-g} $

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.


Примечания

Литература

  • Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.

См. также

ar:معادلات ماكسويل bg:Уравнения на Максуел bn:ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ ca:Equacions de Maxwell cs:Maxwellovy rovnice da:Maxwells ligninger de:Maxwellsche Gleichungen el:Εξισώσεις Μάξγουελ en:Maxwell's equations eo:Ekvacioj de Maxwell es:Ecuaciones de Maxwell eu:Maxwellen ekuazioak fa:معادلات ماکسول fi:Maxwellin yhtälöt fr:Équations de Maxwell gl:Ecuacións de Maxwell he:משוואות מקסוול hi:मैक्सवेल के समीकरण hr:Maxwellove jednadžbe hu:Maxwell-egyenletek id:Persamaan Maxwell is:Jöfnur Maxwells it:Equazioni di Maxwell ja:マクスウェルの方程式 ko:맥스웰 방정식 la:Aequationes Maxwellianae lt:Maksvelo lygtys lv:Integrālie Maksvela vienādojumi nl:Wetten van Maxwell nn:Maxwells likningar no:Maxwells likninger pl:Równania Maxwella pt:Equações de Maxwell ro:Ecuaţiile lui Maxwell simple:Maxwell's equations sk:Maxwellove rovnice sl:Maxwellove enačbe sq:Ekuacionet e Maksuellit sr:Максвелове једначине sv:Maxwells ekvationer th:สมการของแมกซ์เวลล์ tr:Maxwell denklemleri uk:Основні рівняння електродинаміки vi:Phương trình Maxwell zh:麦克斯韦方程组

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.