Треугольник Паскаля - арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами.
Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Обладает симметрией относительно вершины. [1]
Имеет применение в теории вероятности и обладает удивительными свойствами.
В книге Мартина Гарднера «Математические новеллы» есть такие слова о треугольнике Паскаля: [2]
Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.
История[]
Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник Паскаля упоминается ещё Омаром Хайямом около 1100 года. В 1303 году была выпущена книга "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций. Изображен он был позже на титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. [1] А в 1653 году (в других источниках в 1655 году[1]) вышла книга о треугольнике Паскаля Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике». [2]
[]
Удивительные свойства[]
- третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
- В строке с номером nпервое и последнее числа равны 1.
- Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту
- Число второго столбца соответствует номеру строки, на которой расположено число.
- Число третьего столбца равно сумме номеров строк, предшедствующих строке, на которой расположено число.
- Числа третьего столбца являются треугольными числами. [3]
- Числа четвертого столбца являются тетраэдрическими числами. [3]
- Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи[3].
- Если вычесть из центрального числа соседнее число, то получится число Каталана. [3]
- Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n. [3]
[]
[]
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Треугольник Паскаля. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .
- ↑ 1,0 1,1 1,2 О. В. Кузьмин Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 5. — С. 101—109.
- ↑ 2,0 2,1 Арбуз: Удивительный треугольник великого француза
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Имидж №7 Рефераты:Вариации на тему «Треугольник Паскаля»