Теорема Фока-Крылова

Теорема Фока-Крылова. Закон распада квазистационарного состояния полностью определяется энергетическим спектром начального состояния.

Теорема Фока-Крылова определяет вероятность распада, следующим образом:

$L(t) = |p(t)|^2 = \left|\int\exp( - \frac{i}{\hbar}Et) dW(E)\right|^2$

где

$dW(E) = w(E) dE$ --- спектр энергии начального состояния.

Доказательство

Пусть система описывается оператором $\hat H(x)$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

для дискретного спектра:

$\hat H(x) \psi_n(x) = E_n \psi_n(x)$

для сплошного спектра:

$\hat H(x) \psi(E,x) = E \psi (E,x)$

Пусть в момент времени $t=0$ система находится в состоянии $\psi(x,0)$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии $\psi(x,t)$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шредингера:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \bar H(x) \psi(x,t)$

Решение этого уравнения имеет вид:

$\psi(x,t) = \sum_n C_n \exp \left(- \frac{i}{\hbar}E_n t \right) \psi_n(x) + \int C(E) \exp \left(- \frac{i}{\hbar}E t \right)\psi (E,x)dE$

Коэффициенты $C_n$ и $C(E)$ определяются начальными условиями:

$C_n = \int \psi_n^*(x)\psi(0,x)dx , \qquad C(E) = \int \psi^*(E,x) dE$

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

$L(t) = |p(t)|^2 = \left| \int\psi^*(x,0) \psi(x,t) dx \right|^2 = \left|\int\exp( - \frac{i}{\hbar}Et) w(E) dE\right|^2$

где $w(E) \sum_n |C_n|^2 \delta (E-E_n) + |C(E)|^2$ --- спектр начального состояния.

Литература

• В. Фок Начала квантовой механики. — Л.: С. 374.