Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние ) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения .
Определения [ ] Случайный вектор
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
⊤
:
Ω
→
R
n
{\displaystyle \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n}
Произвольная линейная комбинация компонентов вектора
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i}
Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин
Z
=
(
Z
1
,
…
,
Z
m
)
⊤
{\displaystyle \mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}}
μ
=
(
μ
1
,
…
,
μ
m
)
⊤
{\displaystyle \mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_m)^{\top}}
матрица
A
{\displaystyle \mathbf{A}}
n
×
m
{\displaystyle n \times m}
X
=
A
Z
+
μ
{\displaystyle \mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}}
Существует вектор
μ
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n}
неотрицательно определённая симметричная матрица
Σ
{\displaystyle \mathbf{\Sigma}}
n
×
n
{\displaystyle n \times n}
плотность вероятности вектора
X
{\displaystyle \mathbf{X}}
f
X
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
|
Σ
|
1
/
2
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
⊤
Σ
−
1
(
x
−
μ
)
,
x
∈
R
n
{\displaystyle f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n}
где
|
Σ
|
{\displaystyle \vert \Sigma\vert }
Σ
{\displaystyle \Sigma}
Σ
−
1
{\displaystyle \Sigma^{-1}}
обратная к
Σ
{\displaystyle \Sigma}
Существует вектор
μ
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n}
Σ
{\displaystyle \mathbf{\Sigma}}
n
×
n
{\displaystyle n \times n}
характеристическая функция вектора
X
{\displaystyle \mathbf{X}}
ϕ
X
(
u
)
=
e
i
μ
⊤
u
−
1
2
u
⊤
Σ
u
,
u
∈
R
n
{\displaystyle \phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n}
Замечания [ ] Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем .
Вектор
μ
{\displaystyle \mathbf{\mu}}
средних значений
X
{\displaystyle \mathbf{X}}
Σ
{\displaystyle \Sigma}
ковариационная матрица .
В случае
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Если случайный вектор
X
{\displaystyle \mathbf{X}}
X
∼
N
(
μ
,
Σ
)
{\displaystyle \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)}
Свойства многомерного нормального распределения [ ] Если вектор
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
⊤
{\displaystyle \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}}
X
i
,
i
=
1
,
…
,
n
,
{\displaystyle X_i, i=1,\ldots, n,}
Если случайные величины
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_1,\ldots ,X_n}
независимы , то случайный вектор
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
⊤
{\displaystyle \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}}
Σ
{\displaystyle \Sigma}
Если
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
⊤
{\displaystyle \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}}
некоррелированы , то они независимы. Однако, если только компоненты
X
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle X_i,\; i = 1 , \ldots, n}
не следует, что они независимы. Контрпример. Пусть
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle X \sim \mathrm{N}(0,1)}
α
=
±
1
{\displaystyle \alpha = \pm 1}
Y
=
α
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle Y = \alpha X \sim \mathrm{N}(0,1)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований . Если
X
∼
N
(
μ
,
Σ
)
{\displaystyle \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)}
A
{\displaystyle \mathbf{A}}
m
×
n
{\displaystyle m \times n}
A
X
∼
N
(
A
μ
,
A
Σ
A
⊤
)
{\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right)}
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке Многомерное нормальное распределение . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок CC-BY-SA .
