Матема́тика — наука, изучающая количественные и пространственные соотношения в действительном мире и человеческом воображении. Существуют совершенно иные и весьма разнообразные трактовки предмета математики и её метода, например, большинство современных математиков придерживается мнения, что математика — это наука о следствиях из непротиворечивых наборов аксиом (см.: Философия математики и История математики). Слово «математика» произошло от греч. μάθημα, означающего «науку, знание, изучение», и греч. μαθηματικός, означающего «любовь к познанию».
Кратко об истории математики[]
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики :
- Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
- Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
- Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
- Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Цели и методы[]
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствия чему-либо в физическом мире. Однако некоторые из исследуемых математикой объектов могут иметь прообразы в реальном мире, более или менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — цель, к которой стремится математика. Наряду с моделированием математика прибегает к обобщениям, например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rn , при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[1]
Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают ценные теоремы.
Наряду с классическим подходом в современной математике успешно существуют и неклассические, в частности, конструктивная математика.
Конструктивная математика[]
Конструктивная математика может быть определена как неклассическое направление в математике, основанное на критерии конструктивности, в то время как классическая математика основана на критерии непротиворечивости. Согласно критерию непротиворечивости объект признаётся существующим, если он не содержит формально-логического противоречия. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным».[2] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.[3]
Основные темы математики[]
Числа[]
Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на рациональные, действительные, комплексные и другие числа.
Натуральные числа | Целые числа |
Рациональные числа | Вещественные числа |
Комплексные числа | Кватернионы |
Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гипервещественные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы
Преобразования[]
Файл:Integral as region under curve.svg | Файл:Vector field.svg | ||
Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
Файл:Limitcycle.jpg | Файл:LorenzAttractor.png | ||
Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса — Перечень функций
Структуры[]
Теория множеств — Абстрактная алгебра — Теория групп — Алгебраические структуры — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология — Линейная алгебра — Универсальная алгебра — Теория категорий — Теория последовательностей
Пространственные отношения[]
Более наглядные подходы в математике.
Файл:Pythagorean.svg | Файл:Taylorsine.gif | Файл:Osculating circle.svg |
Геометрия | Тригонометрия | Дифференциальная геометрия |
Файл:Torus.jpg | Файл:Koch curve.svg | |
Топология | Фракталы |
Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Дифференциальная топология — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы
Дискретная математика[]
Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.
Файл:DFAexample.svg | Файл:Caesar3.svg | Файл:6n-graf.png | |
Математическая логика | Теория вычислимости | Криптография | Теория графов |
Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимости— Криптография — Дискретные функциональные системы — Теория графов — Логические исчисления
Примечания[]
Онлайновые математические сервисы[]
С каждым днём всё большее число сайтов предоставляют сервис для математических расчётов. Большинство из них пока англоязычные (напр., [1]). Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы nigma.
См. также[]
- Электронная библиотека — список электронных математических библиотек
- Коды в системах классификации знаний
- УДК 51
- Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27 МАТЕМАТИКА
Ссылки[]
- Образовательные сайты
- Дискуссионные математические форумы
- MathForum.Ru — Математический форум мехмата МГУ
- Научный форум dxdy.ru
- Топ-10 интересных фактов о математике.
Литература[]
- Энциклопедии
- Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
- Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
- Энциклопедия математических наук и их приложений. 1899—1934 гг. (Нем., крупнейший обзор литературы XIX века)
- Популярные книги
- Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей.
- Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. 432 с.
- Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987. 416 с.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.